高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)（十六篇）

【第1篇 2023高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)集合

XX高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一.知識(shí)歸納：

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集)：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線(xiàn)的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。

4)常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集：若對(duì)_∈a都有_∈b，則a b(或a b);

2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ，且 )

3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ;

②若 ， ，則 ;

③若 且 ，則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n，則a有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)非空子集，2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿(mǎn)足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對(duì)于集合m：{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n：{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解：

當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個(gè)數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析：確定集合a_b子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個(gè)元素，故a_b的子集共有22個(gè)。選d。

變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個(gè)數(shù)為

a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)

變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .

【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿(mǎn)足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1

分析：先化簡(jiǎn)集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿(mǎn)足條件的a的集合。

解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時(shí)，a_-1=0無(wú)解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝，若p∩q≠φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時(shí)，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)問(wèn)題的題目，一般要進(jìn)行分類(lèi)討論，但并不是所有的問(wèn)題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

【第2篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)集合

一.知識(shí)歸納：

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集)：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線(xiàn)的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。

4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集：若對(duì)_∈A都有_∈B，則A B(或A B);

2)真子集：A B且存在_0∈B但_0 A;記為A B(或 ，且 )

3)交集：A∩B={_| _∈A且_∈B}

4)并集：A∪B={_| _∈A或_∈B}

5)補(bǔ)集：CUA={_| _ A但_∈U}

注意：①? A，若A≠?，則? A ;

②若 ， ，則 ;

③若 且 ，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)非空子集，2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合M={_|_=m+ ,m∈Z},N={_|_= ,n∈Z},P={_|_= ,p∈Z}，則M,N,P滿(mǎn)足關(guān)系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對(duì)于集合M：{_|_= ,m∈Z};對(duì)于集合N：{_|_= ,n∈Z}

對(duì)于集合P：{_|_= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。

分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則( B )

A.M=N B.M N C.N M D.

解：

當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

【例2】定義集合A_B={_|_∈A且_ B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A_B的子集個(gè)數(shù)為

A)1 B)2 C)3 D)4

分析：確定集合A_B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答：∵A_B={_|_∈A且_ B}， ∴A_B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A_B的子集共有22個(gè)。選D。

變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為

A)5個(gè) B)6個(gè) C)7個(gè) D)8個(gè)

變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .

【例3】已知集合A={_|_2+px+q=0},B={_|_2?4_+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合A={_|_2+b_+c=0},B={_|_2+m_+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合B滿(mǎn)足：A∪B={_|_>-2}，且A∩B={_|1

分析：先化簡(jiǎn)集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={_|-21}。由A∩B={_|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

綜合以上各式有B={_|-1≤_≤5}

變式1：若A={_|_3+2_2-8_>0}，B={_|_2+a_+b≤0},已知A∪B={_|_>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2：設(shè)M={_|_2-2_-3=0},N={_|a_-1=0}，若M∩N=N，求所有滿(mǎn)足條件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M

①當(dāng) 時(shí)，a_-1=0無(wú)解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時(shí)，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)問(wèn)題的題目，一般要進(jìn)行分類(lèi)討論，但并不是所有的問(wèn)題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

【第3篇 2023年高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

（1）元素的確定性如：世界上的山

（2）元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

（3）元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：_ kb 1.c om

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n

正整數(shù)集 ：n_或 n+

整數(shù)集： z

有理數(shù)集： q

實(shí)數(shù)集： r

1）列舉法：{a,b,c……}

2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}

3) 語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) venn圖:

4、集合的分類(lèi)：

(1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合

(2)無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a

2．“相等”關(guān)系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a?a

② 真子集:如果a?b,且a? b那就說(shuō)集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)

③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c

④ 如果a?b 同時(shí) b?a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個(gè)數(shù)：

有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集，含有2n-1個(gè)非空子集，含有2n-1個(gè)非空真子集

三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類(lèi)型 交 集 并 集 補(bǔ) 集

定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．記作a b（讀作‘a(chǎn)交b’），即a b=｛_|_ a，且_ b｝．

由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，叫做a,b的并集．記作：a b（讀作‘a(chǎn)并b’），即a b ={_|_ a，或_ b})．

設(shè)s是一個(gè)集合，a是s的一個(gè)子集，由s中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補(bǔ)集（或余集）

記作 ，即

csa=

韋

恩

圖

示

性

質(zhì) a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b ａ

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ．

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念

設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)．記作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；

②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象．c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_，y)均滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(_)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_，y)，均在c上 .

(2) 畫(huà)法

1.描點(diǎn)法： 2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對(duì)稱(chēng)變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間 （2）無(wú)窮區(qū)間 （3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：a（原象） b（象）”

對(duì)于映射f：a→b來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿(mǎn)足：

(1)集合a中的每一個(gè)元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(3)不要求集合b中的每一個(gè)元素在集合a中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱(chēng)為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1，_2，當(dāng)_1

如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1，_2，當(dāng)_1

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

（2） 圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(a) 定義法：

（1）任取_1，_2∈d，且_1

（2）作差f(_1)－f(_2)；或者做商

（3）變形（通常是因式分解和配方）；

（4）定號(hào)（即判斷差f(_1)－f(_2)的正負(fù)）；

（5）下結(jié)論（指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性）．

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù)．

（2）奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

○2確定f(－_)與f(_)的關(guān)系；

○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù)；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱(chēng)，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

10、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

11．函數(shù)（小）值

○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的（?。┲?/p>

○2 利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>

○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的（小）值：

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b)；

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b)；

第三章 基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ _．

負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。

當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

，

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義

3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中_是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)閞．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>1 0<1

定義域 r 定義域 r

值域y＞0 值域y＞0

在r上單調(diào)遞增 在r上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1） 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ；

（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

（一）對(duì)數(shù)

1．對(duì)數(shù)的概念：

一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù)，記作： （ — 底數(shù)， — 真數(shù)， — 對(duì)數(shù)式）

說(shuō)明：○1 注意底數(shù)的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式．

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

○1 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù) ；

○2 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) ．

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

冪值 真數(shù)

＝ n ＝ b

底數(shù)

指數(shù) 對(duì)數(shù)

（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 · ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：（1） ；（2） ．

（3）、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)； ②、 ， ③、對(duì)數(shù)恒等式

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意：○1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．

○2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制： ，且 ．

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>1 0<1

定義域_＞0 定義域_＞0

值域?yàn)閞 值域?yàn)閞

在r上遞增 在r上遞減

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0） 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；

（2） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸．

第四章 函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) ，把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

○1 （代數(shù)法）求方程 的實(shí)數(shù)根；

○2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù) ．

（1）△＞０，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）△＝０，方程 有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

（3）△＜０，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

5.函數(shù)的模型

【第4篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（定理）

導(dǎo)語(yǔ)人生要敢于理解挑戰(zhàn)，經(jīng)受得起挑戰(zhàn)的人才能夠領(lǐng)悟人生非凡的真諦，才能夠?qū)崿F(xiàn)自我無(wú)限的超越，才能夠創(chuàng)造魅力永恒的價(jià)值。以下是高一頻道為你整理的《高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（定理）》，希望你不負(fù)時(shí)光，努力向前，加油！

1過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)

2兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)垂直

6直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短

7平行公理經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行

8如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，這兩條直線(xiàn)也互相平行

9同位角相等，兩直線(xiàn)平行

10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行

11同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行

12兩直線(xiàn)平行，同位角相等

13兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

23角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

24推論(aas)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

25邊邊邊公理(sss)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

27定理1在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上

29角的平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊上的一半

39定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上

41線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可看作和線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

42定理1關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同一條直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線(xiàn)相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角

66菱形面積=對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，即s=(a×b)÷2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角

71定理1關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分

73逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

75等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

77對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形

78平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等

79推論1經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線(xiàn)，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)，必平分第三邊

81三角形中位線(xiàn)定理三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線(xiàn)定理梯形的中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例

88定理如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(asa)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似(sas)

94判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似(sss)

95定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比與對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓

106和已知線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線(xiàn)

108到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線(xiàn)平行且距離相等的一條直線(xiàn)

109定理不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

②弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

118推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

121①直線(xiàn)l和⊙o相交d

②直線(xiàn)l和⊙o相切d=r

③直線(xiàn)l和⊙o相離d>r

122切線(xiàn)的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)

123切線(xiàn)的性質(zhì)定理圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑

124推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

125推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心

126切線(xiàn)長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)

132切割線(xiàn)定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割

線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等

134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上

135①兩圓外離d>r+r②兩圓外切d=r+r

③兩圓相交r-rr)

④兩圓內(nèi)切d=r-r(r>r)⑤兩圓內(nèi)含dr)

136定理相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，以相鄰切線(xiàn)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

141正n邊形的面積sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長(zhǎng)

142正三角形面積√3a/4a表示邊長(zhǎng)

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)衚個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=nπr/180

145扇形面積公式：s扇形=nπr2/360=lr/2

146內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)=d-(r-r)外公切線(xiàn)長(zhǎng)=d-(r+r)

147等腰三角形的兩個(gè)底腳相等

148等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合

149如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

150三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

【第5篇 兩個(gè)平面的位置關(guān)系高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

兩個(gè)平面的位置關(guān)系高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

(1)兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)

(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線(xiàn)。

a、平行

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線(xiàn)平行。

b、相交

二面角(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。

(2)二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的'圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0，180]

(3)二面角的棱：這一條直線(xiàn)叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為

兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。

attention：

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂線(xiàn)定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)

【第6篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)與公式總結(jié)

高一數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)與公式總結(jié)

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯：

1)、 理解集合中的有關(guān)概念 (1)集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無(wú)序性 。

(2)集合與元素的關(guān)系用符號(hào) ， 表示。

(3)常用數(shù)集的符號(hào)表示：自然數(shù)集 ;正整數(shù)集 、 ;整數(shù)集 ;有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 。

(4)集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

(5)空集是指不含任何元素的集合?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。

2)、 集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算： (1)若集合 中有 n個(gè)元素，則集合 的所有不同的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)________，所有真子集的個(gè)數(shù)是__________，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是 。

3)、 若 ; 則 是 的充分非必要條件 ;

若 ; 則 是 的必要非充分條件 ;

若 ; 則 是 的充要條件 ;

若 ; 則 是 的既非充分又非必要條件 ;

4)、 原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的. ;

5)、 反證法：當(dāng)證明“若 ，則 ”感到困難時(shí)，改證它的等價(jià)命題“若 則 ”成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立;2、從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾;3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的1、與原命題的條件矛盾;2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題;3、導(dǎo)出一個(gè)恒假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時(shí)。

正面詞語(yǔ) 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個(gè)

否定

正面詞語(yǔ) 至少有一個(gè) 任意的 所有的 至多有n個(gè) 任意兩個(gè)

否定

二、函數(shù)

1)、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：

(2)一一映射：

(3)函數(shù)的概念：

2)、函數(shù)的三要素： ， ， 。

(1)函數(shù)解析式的求法： ①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

(2)函數(shù)定義域的求法： 含參問(wèn)題的定義域要分類(lèi)討論; 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。

(3)函數(shù)值域的求法： ①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值;②逆求法(反求法)：通過(guò)反解，用y來(lái)表示_，再由_的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍;④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想;⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域;⑥基本不等式法：利用平均值不等式公式來(lái)求值域;⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。

3)、函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法(作差比較和作商比較) 導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù)) 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，比較f(_) 與f(-_)的關(guān)系。f(_) -f(-_)=0 f(_) =f(-_) f(_)為偶函數(shù); f(_)+f(-_)=0 f(_) =-f(-_) f(_)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(_)對(duì)定義域內(nèi)的任意_滿(mǎn)足：f(_+t)=f(_),則t為函數(shù)f(_)的周期。

其他：若函數(shù)f(_)對(duì)定義域內(nèi)的任意_滿(mǎn)足：f(_+a)=f(_-a),則2a為函數(shù)f(_)的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。

4)、圖形變換：函數(shù)圖像變換：(重點(diǎn))要求掌握常見(jiàn)基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見(jiàn)圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語(yǔ)言解釋?zhuān)桶聪蛄科揭坡?lián)系起來(lái)思考)

平移變換 y=f(_)→y=f(_+a),y=f(_)+b

注意：(?)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y=f(2_)經(jīng)過(guò) 平移得到函數(shù)y=f(2_+4)的圖象。

(?)會(huì)結(jié)合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意義。

對(duì)稱(chēng)變換 y=f(_)→y=f(-_),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

y=f(_)→y=-f(_) ,關(guān)于_軸對(duì)稱(chēng)

y=f(_)→y=f_,把_軸上方的圖象保留，_軸下方的圖象關(guān)于_軸對(duì)稱(chēng)

y=f(_)→y=f(_)把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。(注意：它是一個(gè)偶函數(shù))

伸縮變換：y=f(_)→y=f(ω_),

y=f(_)→y=af(ω_+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

5)、反函數(shù)：

(1)定義：

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ;

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ;

(4)求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇;②將 互換，得 ;③寫(xiě)出反函數(shù)的定義域(即 的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

三、數(shù)列

本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個(gè)問(wèn)題：(1)等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng)為 若 滿(mǎn)足 則通項(xiàng)公式可寫(xiě)成 .(2)數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.(3)解答有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問(wèn)題可以化為函數(shù)問(wèn)題求解.

②分類(lèi)討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ;已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類(lèi);

③整體思想：在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì)，運(yùn)用整

體思想求解.

(4)在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答此類(lèi)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò).

1)、基本概念：

1、 數(shù)列的定義及表示方法：

2、 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)：

3、 有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列：

4、 遞增(減)、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列：

5、 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an：

6、 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sn:

7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

三角形面積公式

由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線(xiàn)或球面上三條弧線(xiàn)所圍成的圖形。 三條直線(xiàn)所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線(xiàn)所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。

面積公式：

（1）s＝ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角c，則s＝1/2 _ absinc

(4).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r

s=(a+b+c)r/2

(5).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為r

s=abc/4r

(6).根據(jù)三角函數(shù)求面積：

s= absinc/2 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

注:其中r為外切圓半徑。

【第7篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):函數(shù)的有關(guān)概念

函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)．記作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

?相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象．c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_，y)均滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(_)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_，y)，均在c上 .

(2) 畫(huà)法

a、描點(diǎn)法：

b、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對(duì)稱(chēng)變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間

（2）無(wú)窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：a（原象） b（象）”

對(duì)于映射f：a→b來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿(mǎn)足：

(1)集合a中的每一個(gè)元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(3)不要求集合b中的每一個(gè)元素在集合a中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱(chēng)為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1，_2，當(dāng)_1

如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1，_2，當(dāng)_1

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

（2） 圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(a) 定義法：

1 任取_1，_2∈d，且_1

2 作差f(_1)－f(_2)；

3 變形（通常是因式分解和配方）；

4 定號(hào)（即判斷差f(_1)－f(_2)的正負(fù)）；

5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性）．

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù)．

（2）．奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

○2確定f(－_)與f(_)的關(guān)系；

○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù)；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱(chēng)，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數(shù)法

3)換元法

4)消參法

10．函數(shù)（?。┲担ǘx見(jiàn)課本p36頁(yè)）

1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的（?。┲?/p>

2 利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>

3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的（?。┲担?/p>

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b)；

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b)；

【第8篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

導(dǎo)語(yǔ)高一新生要作好充分思想準(zhǔn)備，以自信、寬容的心態(tài)，盡快融入集體，適應(yīng)新同學(xué)、適應(yīng)新校園環(huán)境、適應(yīng)與初中迥異的紀(jì)律制度。記住：是你主動(dòng)地適應(yīng)環(huán)境，而不是環(huán)境適應(yīng)你。因?yàn)槟阕呦蛏鐣?huì)參加工作也得適應(yīng)社會(huì)。以下內(nèi)容是為你整理的《高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)》，希望你不負(fù)時(shí)光，努力向前，加油！

1.高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

定義：

從平面解析幾何的角度來(lái)看，平面上的直線(xiàn)就是由平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，只需把這兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立求解，當(dāng)這個(gè)聯(lián)立方程組無(wú)解時(shí)，兩直線(xiàn)平行;有無(wú)窮多解時(shí)，兩直線(xiàn)重合;只有一解時(shí)，兩直線(xiàn)相交于一點(diǎn)。常用直線(xiàn)向上方向與_軸正向的夾角(叫直線(xiàn)的傾斜角)或該角的正切(稱(chēng)直線(xiàn)的斜率)來(lái)表示平面上直線(xiàn)(對(duì)于_軸)的傾斜程度?？梢酝ㄟ^(guò)斜率來(lái)判斷兩條直線(xiàn)是否互相平行或互相垂直，也可計(jì)算它們的交角。直線(xiàn)與某個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱(chēng)為直線(xiàn)在該坐標(biāo)軸上的截距。直線(xiàn)在平面上的位置，由它的斜率和一個(gè)截距完全確定。在空間，兩個(gè)平面相交時(shí)，交線(xiàn)為一條直線(xiàn)。因此，在空間直角坐標(biāo)系中，用兩個(gè)表示平面的三元一次方程聯(lián)立，作為它們相交所得直線(xiàn)的方程。

表達(dá)式：

斜截式:y=k_+b

兩點(diǎn)式:(y-y1)/(y1-y2)=(_-_1)/(_1-_2)

點(diǎn)斜式:y-y1=k(_-_1)

截距式:(_/a)+(y/b)=0

補(bǔ)充一下：最基本的標(biāo)準(zhǔn)方程不要忘了,a_+by+c=0,

因?yàn)?上面的四種直線(xiàn)方程不包含斜率k不存在的情況,如_=3,這條直線(xiàn)就不能用上面的四種形式表示,解題過(guò)程中尤其要注意,k不存在的情況。

2.高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線(xiàn)從分別接近于y軸與_軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與_軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線(xiàn)y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于_軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)__。

3.高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則_肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在_小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于_>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于_<0和_>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

4.高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(_)是偶函數(shù)，那么f(_)=f(-_);

(2)若f(_)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)=0(可用于求參數(shù));

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(_)±f(-_)=0或(f(_)≠0);

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(_)的定義域，相當(dāng)于_∈[a,b]時(shí)，求g(_)的值域(即f(_)的定義域);研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

3.函數(shù)圖像(或方程曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性)

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;

(2)證明圖像c1與c2的對(duì)稱(chēng)性，即證明c1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在c2上，反之亦然;

(3)曲線(xiàn)c1：f(_,y)=0,關(guān)于y=_+a(y=-_+a)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0);

(4)曲線(xiàn)c1:f(_,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)c2方程為：f(2a-_,2b-y)=0;

(5)若函數(shù)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí)，f(a+_)=f(a-_)恒成立，則y=f(_)圖像關(guān)于直線(xiàn)_=a對(duì)稱(chēng);

(6)函數(shù)y=f(_-a)與y=f(b-_)的圖像關(guān)于直線(xiàn)_=對(duì)稱(chēng);

4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí)，f(_+a)=f(_-a)或f(_-2a)=f(_)(a>0)恒成立,則y=f(_)是周期為2a的周期函數(shù);

(2)若y=f(_)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)_=a對(duì)稱(chēng)，則f(_)是周期為2|a|的周期函數(shù);

(3)若y=f(_)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)_=a對(duì)稱(chēng)，則f(_)是周期為4|a|的周期函數(shù);

(4)若y=f(_)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱(chēng)，則f(_)是周期為2的周期函數(shù);

(5)y=f(_)的圖象關(guān)于直線(xiàn)_=a,_=b(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);

(6)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí)，f(_+a)=-f(_)(或f(_+a)=，則y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);

5.方程k=f(_)有解k∈d(d為f(_)的值域);

a≥f(_)恒成立a≥[f(_)]ma_,;a≤f(_)恒成立a≤[f(_)]min;

(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈r+);

(2)logan=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;

(4)alogan=n(a>0,a≠1,n>0);

6.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：

(1)a中元素必須都有象且;

(2)b中元素不一定都有原象，并且a中不同元素在b中可以有相同的象;

7.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。

8.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：

(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

(6)y=f(_)與y=f-1(_)互為反函數(shù)，設(shè)f(_)的定義域?yàn)閍，值域?yàn)閎，則有f[f--1(_)]=_(_∈b),f--1[f(_)]=_(_∈a);

9.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向;二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;

10.依據(jù)單調(diào)性

利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類(lèi)參數(shù)的范圍問(wèn)題;

5.高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

(1)直線(xiàn)的傾斜角

定義：_軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地，當(dāng)直線(xiàn)與_軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

(2)直線(xiàn)的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式：

注意下面四點(diǎn)：

(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與p1、p2的順序無(wú)關(guān);

(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

【第9篇 蘇教版高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．了解曲線(xiàn)的方程的概念；

2.通過(guò)具體實(shí)例研究，掌握求曲線(xiàn)方程的一般步驟；

3.能根據(jù)曲線(xiàn)方程的概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

一、預(yù)習(xí)檢查

1．觀察下表中的方程與曲線(xiàn)，說(shuō)明它們有怎樣的關(guān)系:

序號(hào)方程曲線(xiàn)

1

2．條件甲：曲線(xiàn)是方程的曲線(xiàn)．條件乙：曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解．甲是乙的什么條件？

3．長(zhǎng)為的線(xiàn)段的兩端點(diǎn)分別在互相垂直的兩條直線(xiàn)上滑動(dòng)，求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡．

４．求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比等于２的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

二、問(wèn)題探究

探究1．我們已經(jīng)建立了直線(xiàn)的方程，圓的方程及圓錐曲線(xiàn)的方程．那么，對(duì)于一般的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)的方程的含義是什么？

探究2．回憶建立橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)方程的過(guò)程，寫(xiě)出求曲線(xiàn)方程的一般步驟；

例1．（１）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式：，試解釋關(guān)系式的幾何意義并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

（２）試畫(huà)出所表示的曲線(xiàn)．

例２．已知△一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是和，另兩邊所在直線(xiàn)的斜率之積是，求頂點(diǎn)的軌跡方程．

例3．（理科）設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

三、思維訓(xùn)練

1．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)m連線(xiàn)中點(diǎn)的軌跡方程是．

2．在直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)的軌跡方程是．

3．點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作∠的外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)的軌跡是．

4．一動(dòng)圓與定圓相切，且該動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)．

（１）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（２）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，

求的取值范圍．

四、課后鞏固

1．已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡是．

2．坐標(biāo)平面上有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)的斜率之積為定值，則點(diǎn)的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線(xiàn)；③拋物線(xiàn)；④圓；⑤直線(xiàn)．

試將正確的序號(hào)填在直線(xiàn)上．

3．設(shè)定點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程是．

4．求焦點(diǎn)在軸上，焦距是４，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

5．（理科）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)和圓：，動(dòng)點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)與的比等于常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．

【第10篇 人教版高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語(yǔ)我們最孤獨(dú)的，不是缺少知己，而是在心途中迷失了自己，忘了來(lái)時(shí)的方向與去時(shí)的路;我們最痛苦的，不是失去了曾經(jīng)的珍愛(ài)，而是靈魂中少了一方寧?kù)o的空間，慢慢在浮躁中遺棄了那些寶貴的精神;我們最需要的，不是別人的憐憫或關(guān)懷，而是一種頑強(qiáng)不屈的自助。你若不愛(ài)自己，沒(méi)誰(shuí)可以幫你。高一頻道為你正在奮斗的你整理了《人教版高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》希望可以幫到你！

指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線(xiàn)從分別接近于y軸與_軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與_軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線(xiàn)y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于_軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)_。

奇偶性

定義

一般地，對(duì)于函數(shù)f(_)

(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(-_)=-f(_)，那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，都有f(-_)=f(_)，那么函數(shù)f(_)就叫做偶函數(shù)。

(3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(_)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_，f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)都不能成立，那么函數(shù)f(_)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。

立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線(xiàn)與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：

①原來(lái)與_軸平行的線(xiàn)段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;

②原來(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

直線(xiàn)與方程

(1)直線(xiàn)的傾斜角

定義：_軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地，當(dāng)直線(xiàn)與_軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

(2)直線(xiàn)的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式：

注意下面四點(diǎn)：

(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與p1、p2的順序無(wú)關(guān);

(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

冪函數(shù)

定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則_肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在_小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于_>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于_<0和_>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

【第11篇 立體幾何高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

立體幾何高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的.幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線(xiàn)與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：

①原來(lái)與_軸平行的線(xiàn)段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;

②原來(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

【第12篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

(3)元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n

正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實(shí)數(shù)集r

1)列舉法：{a,b,c……}

2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的'方法。{_r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}

3)語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)venn圖:

4、集合的分類(lèi)：

有限集 含有有限個(gè)元素的集合

無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合

空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba

2．“相等”關(guān)系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且a b那就說(shuō)集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)

③如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同時(shí) ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集

【第13篇 函數(shù)定義域函數(shù)值域高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)定義域 函數(shù)值域高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

(高中函數(shù)定義)設(shè)a，b是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：a--b為集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(_)，_屬于集合a。其中，_叫作自變量，_的取值范圍a叫作函數(shù)的定義域;

值域

名稱(chēng)定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合);(3)函數(shù)單調(diào)性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數(shù)法(逆求法);(7)判別式法;(8)復(fù)合函數(shù)法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等

關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本元件。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行定義域優(yōu)先的原則，無(wú)可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問(wèn)題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對(duì)值域問(wèn)題的探究，造成了一手硬一手軟，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無(wú)限集的話(huà)，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來(lái)考慮函數(shù)的'取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來(lái)講，求值域的問(wèn)題有時(shí)比求定義域問(wèn)題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對(duì)值域求法的研究和討論，有利于對(duì)定義域內(nèi)函的理解，從而深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

范圍與值域相同嗎?

范圍與值域是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念。值域是所有函數(shù)值的集合(即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值)，而范圍則只是滿(mǎn)足某個(gè)條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿(mǎn)足這個(gè)條件)。也就是說(shuō)：值域是一個(gè)范圍，而范圍卻不一定是值域。

以上就是由數(shù)學(xué)網(wǎng)為您提供的高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：函數(shù)定義域 函數(shù)值域，希望給您帶來(lái)幫助!

【第14篇 高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)冪函數(shù)的總結(jié)

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)關(guān)于冪函數(shù)的總結(jié)

冪函數(shù)定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則_肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在_小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于_>;0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于_<0和_>;0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則_肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在_大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在_小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于_大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

趣談平分

把餅?zāi)菢拥奈矬w分成2等份，可以采用一個(gè)人切而讓另一個(gè)人挑的辦法，這樣分的優(yōu)點(diǎn)是很明顯的。在第一個(gè)人看來(lái)，他必須把餅分成他認(rèn)為價(jià)值相等的兩部分，才能保證得到他應(yīng)得的那一部分；而第二個(gè)人只要選取價(jià)值大的那一部分，或在兩部分價(jià)值相等的情況下任選其中一部分，就能保證他得到他至少應(yīng)得的那一部分。在這里，我們假定物體具有在分割時(shí)不會(huì)損失它的總價(jià)值。

若要把一個(gè)物體分成3或若干等份，我們可以采用這樣的方法：這里以5個(gè)人分配來(lái)說(shuō)明，對(duì)于任意多個(gè)分配者，分法大致是相同的。我們把這5個(gè)人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有權(quán)利從餅上割下任一部分；乙有把甲所割出的一塊減少的自由，但沒(méi)有人強(qiáng)迫他這樣做；然后丙又有減少這一塊的自由，這樣繼續(xù)下去。假定最后是戊接觸這塊餅，那么由戊拿走這塊餅，然后把剩余的餅在甲乙丙丁四人之間平分。第二輪可一用同樣的步驟把參加的人數(shù)減少到三，以此分配下去?，F(xiàn)在我們來(lái)看，每一個(gè)參加分配的`人應(yīng)如何做才能保證自己應(yīng)得的那一部分歸自己。在第一輪甲割下它認(rèn)為值1/5的一塊后，很可能沒(méi)有人再去碰它而甲就達(dá)到值1/5的那一部分；在這種情況下，他沒(méi)有做錯(cuò)。然而，如果有另一個(gè)或幾個(gè)人減少了這塊餅，那么最后接觸到他的人就要得到它，所以甲當(dāng)然認(rèn)為價(jià)值超過(guò)/5的餅被留下由4個(gè)人平分，而他是這4個(gè)人中的一個(gè)。在第二輪甲照前面的辦：如果他仍就是第一個(gè)，那么他割下認(rèn)為有余下部分1/4價(jià)值的那一塊。這個(gè)策略還不完全，我們還應(yīng)指出一個(gè)分配者在他不是第一時(shí)應(yīng)怎樣做。假定乙認(rèn)為甲所個(gè)下的部分太大，也就是比他估計(jì)的整個(gè)餅的1/5大了，那么他只要把它減少到他認(rèn)為適當(dāng)?shù)拇笮。蝗绻蔀樽詈笠粋€(gè)減少這部分餅的人，他就得到了它，而且并沒(méi)有做錯(cuò)，如果他沒(méi)有得到它，那是因?yàn)樵谝乙院笥钟袆e的人接觸了它。因而在乙以后的減小者中有一人要得到被乙認(rèn)為是價(jià)值小于1/5的一塊餅，所以乙在下一輪將參加分配他認(rèn)為價(jià)值大于原來(lái)4/5的部分?，F(xiàn)在方法就清楚了：如果你在任一輪中是n個(gè)分配者的第一個(gè)，那么不論放在你面前的是整個(gè)餅還是余下的部分，你總應(yīng)該割下你認(rèn)為價(jià)值時(shí)這部分餅的1/n的一塊；如果你在這一輪中不是第一個(gè)，而且你看到由別人割下的一塊比你估計(jì)的那部分餅的1/n大，那你就把它減小到1/n；如果割下的你估計(jì)的那部分餅的1/n小，那你就不要?jiǎng)铀?。這個(gè)方法保證每一個(gè)人得到他認(rèn)為是應(yīng)得的部分。 高中地理

在經(jīng)濟(jì)生活中，存在著另一種分配問(wèn)題：分配的是不能分割的物體，如房子、家畜、家具、汽車(chē)、藝術(shù)品等。例如一筆遺產(chǎn)，包括：一座房子、一座磨坊和一輛汽車(chē)，要在享有同等繼承權(quán)的四個(gè)繼承人甲乙丙丁之間分配，需要一個(gè)公正人，請(qǐng)讀者想一想，應(yīng)如何去做？

高中數(shù)學(xué)再次梳理知識(shí)

1、再次梳理知識(shí)，及時(shí)查漏補(bǔ)缺

這階段，許多考生備考狀況是雜亂無(wú)章，沒(méi)有頭緒，心中無(wú)底，忐忑不安，效率低下。其實(shí)最需做的仍是梳理知識(shí)網(wǎng)，查漏補(bǔ)缺。一般來(lái)說(shuō)，在梳理過(guò)程中難免會(huì)遇到不是很明白的地方，這時(shí)需翻書(shū)對(duì)照，防止概念錯(cuò)誤。另外，要進(jìn)行重要和典型問(wèn)題的解題方法的歸納，只有這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，這里要注意各種方法的適用范圍，防止只是形式的簡(jiǎn)單套用導(dǎo)致原理錯(cuò)誤，比如在做數(shù)列問(wèn)題時(shí)不要簡(jiǎn)單套用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，注意離散和連續(xù)函數(shù)的區(qū)別。

2、適量模擬練習(xí)，保持臨考狀態(tài)

考前50天一定要有針對(duì)性進(jìn)行套卷訓(xùn)練，一是通過(guò)模擬可以查漏補(bǔ)缺，二是提高應(yīng)試能力，包括答題技巧，心理調(diào)節(jié)。建議大家練幾套有標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的模擬卷(包括近幾年高考卷)，并且自批自改，在模擬練習(xí)時(shí)一定要了解評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)自我修正，提高得分的機(jī)會(huì)，力爭(zhēng)減少無(wú)謂的失分，保證會(huì)做的不錯(cuò)不扣分，即使不完全會(huì)做，也應(yīng)理解多少做多少，增加得分機(jī)會(huì)。

3、全科規(guī)劃意識(shí)，突破偏文學(xué)科

沖刺階段，一定要有全科規(guī)劃意識(shí)，高考是看總分的，不管是強(qiáng)勢(shì)學(xué)科還是弱勢(shì)學(xué)科都要有相應(yīng)的時(shí)間分配計(jì)劃，做到重點(diǎn)學(xué)科重點(diǎn)突破。實(shí)踐表明后期在記憶性學(xué)科上多下功夫，會(huì)立竿見(jiàn)影，象語(yǔ)文，英語(yǔ)，文綜，生物等，考生應(yīng)向這些學(xué)科適當(dāng)傾斜。但是思維性強(qiáng)的學(xué)科，如數(shù)學(xué)，物理，若幾天不做會(huì)上手慢，出錯(cuò)率高，因此在后期也應(yīng)該安排一定的時(shí)間去做去練，保持一個(gè)良好的臨考狀態(tài)。

4、調(diào)整心理狀態(tài)，爭(zhēng)取笑到最后

高考臨近，有些考生精神過(guò)度緊張，甚至病倒。因此提醒大家，防止兩個(gè)極端的做法，一是徹底放松，破壞了長(zhǎng)期形成的生物鐘，會(huì)適得其反。另一個(gè)就是挑燈夜戰(zhàn)，加班加點(diǎn)，導(dǎo)致考前過(guò)度疲勞，臨考時(shí)打不起精神。建議考生，休息調(diào)整是必要的，但必須的是微調(diào)，特別要把興奮狀態(tài)逐步調(diào)整到上午9：00——11：30，下午3：00——5：00。高考前還要注意飲食的科學(xué)性和規(guī)律性，不能大吃大喝，宜清淡又要保證全面營(yíng)養(yǎng)，總之，生活有節(jié)奏，亦張亦弛，保持心態(tài)平穩(wěn)。同時(shí)考前保持必勝的信心是非常必要的，走進(jìn)考場(chǎng)要信心百倍，即使遇到困難也不要慌張，自我暗示，及時(shí)調(diào)整，只要大家精心準(zhǔn)備，充滿(mǎn)自信，沉著應(yīng)戰(zhàn)，就一定能笑到最后!

三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形

一. 本周教學(xué)內(nèi)容：三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形

考點(diǎn)梳理

一、本章內(nèi)容

1. 角的概念的推廣，弧度制．

2. 任意角的三角函數(shù)、單位圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．

3. 兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切．

4. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、周期函數(shù)、函數(shù)y=asin（ω_ ）的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角．

5. 余弦定理、正弦定理．利用余弦定理、正弦定理解斜三角形．

二、本章考試要求

1. 理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算．

2. 掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義．

3. 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

4. 能正確地運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．

5. 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= asin（ω_ ）的簡(jiǎn)圖，理解a、ω、 的意義．

6. 會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)

命題研究

分析近五年的全國(guó)，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均每年有25分，約占17%．的內(nèi)容主要有兩方面；其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換；尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數(shù)式的恒等變形，如利用有關(guān)公式求值，解決簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題，除了在填空題和選擇題中出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面的內(nèi)容，是命題的一個(gè)常考的基礎(chǔ)性的題型．其命題熱點(diǎn)是章節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問(wèn)題，命題新趨勢(shì)是跨章節(jié)的學(xué)科綜合問(wèn)題．的走勢(shì)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念，突出了對(duì)創(chuàng)新的考查．

如：福建卷的第17題設(shè)函數(shù) ，

（2）若函數(shù) 的圖象按向量 平移后得到函數(shù) 的圖象，求實(shí)數(shù) 的值．此題“重視拓寬，開(kāi)辟新領(lǐng)域”，將三角與向量交匯．

策略

三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)．第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本的再認(rèn)識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度．當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運(yùn)用為宜．由于三角函數(shù)解答題是基礎(chǔ)題、常規(guī)題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來(lái)高考命題趨勢(shì)．總之，三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)、加強(qiáng)訓(xùn)練、綜合應(yīng)用、提高能力．

解答三角函數(shù)高考題的一般策略：

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”．

（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系．

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)娜枪剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化．

三角函數(shù)恒等變形的基本策略：

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ sin2θ=tan_?cot_=tan45°等．

（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊．如分拆項(xiàng)：sin2_ 2cos2_=（sin2_ cos2_） cos2_=1 cos2_；配湊角：α=（α β）－β，β= － 等．

（3）降次，即二倍角公式降次．

（4）化弦（切）法．將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）．

（5）引入輔助角．a(chǎn)sinθ bcosθ= sin（θ ），這里輔助角 所在象限由a、b的符號(hào)確定， 角的值由tan = 確定．

典型例題分析與解答

例1、

解法二：（從“名”入手，異名化同名）

的圖像過(guò)點(diǎn) ，且 的最大值為 的解析式；（2）由函數(shù) 圖像經(jīng)過(guò)平移是否能得到一個(gè)奇函數(shù)解析：（1） ，解得 ，

所以 ，將 的圖像，再向右平移 單位得到 的圖像先向上平移1個(gè)單位，再向右平移 單位就可以得到奇函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，這是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)于以重視．

例3、為使方程 內(nèi)有解，則 的取值范圍是（ ）

分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè)sin_=t，則原方程化為 ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若關(guān)于 的一元二次方程 上有解，求 的取值范圍，解法如下：

分析二： 上的值域．

解法如下：

點(diǎn)評(píng)：換元法或方程思想也是高考考查的重點(diǎn)，尤其是計(jì)算型試題．

例4、已知向量 的值．

所以 ；

（2） ，所以 ，所以 ，所以點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，三角函數(shù)的恒等變換的基本技能，著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)．

例5、已知向量 ，向量 ，且 ，

（1）求向量 與向量 的夾角為 ，向量 為 依次成等差數(shù)列，求 的取值范圍．

解析：（1）設(shè) ，由 ，有 ①

向量 ，有 ，則 ②

由①、②解得：

（2）由 垂直知 ，

由 ，則 ，

例6、如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為bc的半圓形空地，△abc外的地方種草，△abc的內(nèi)接正方形pqrs為一水池，其余的地方種花.若bc=a，∠abc=

（1）用a， 變化時(shí)，求 取最小值時(shí)的角解析：（1） ，則

固定，

令

函數(shù) 在 上是減函數(shù)，于是當(dāng) ．

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例．通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù) 的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（ ）

a.

c. d.

2、下列函數(shù)中，以 為周期的函數(shù)是（ ）

a.

b.

d.

3、已知 等于（ ）

a.

4、已知 b.

c. d.

5、函數(shù)a、 b、 c、 d、

6、如圖，半徑為2的⊙m切直線(xiàn)ab于o點(diǎn)，射線(xiàn)oc從oa出發(fā)繞著o點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到ob．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，oc交⊙m于p，記∠pmo為_(kāi)，弓形pno的面積為 ，那么 的圖象是（ ）

7、tan15°－cot15°＝（ ）

a. 2 b. c. 4 d.

8、給出下列的命題中，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

（1）存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；

（2）存在實(shí)數(shù)α，使sinα cosα= ；

（3） 的值域?yàn)椋?）

a. b. c. 在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）

a. c.

11、若點(diǎn)p ］內(nèi)

d.

12、定義在r上的函數(shù) 即是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若 的最小正周期是 ，且當(dāng) ，則 b. c.

二、填空題

13、 ，且當(dāng)p點(diǎn)從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：

； ，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

15、給出問(wèn)題：已知 ，試判定 ，去分母整理可得 ， ．故 ，

（1）求函數(shù) 的奇偶性．

18、（1）已知： ，求證： 的最小值為0，求_的集合．

20、在 所對(duì)的邊分別為 ，

（1）求 ，求 的最大值．

21、已知向量 ，函數(shù) 的周期為 ，當(dāng)22、如圖，足球比賽場(chǎng)的寬度為a米，球門(mén)寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場(chǎng)邊線(xiàn)，帶球過(guò)人沿直線(xiàn)向前推進(jìn)．試問(wèn)：該邊鋒在距乙方底線(xiàn)多遠(yuǎn)時(shí)起腳射門(mén)可命中角的正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門(mén)，所在直線(xiàn)為乙方底線(xiàn)，只考慮在同一平面上的情形）．

試題答案

1、a 2、d 3、a 4、a 5、a 6、a

7、d 8、b 9、b 10、d 11、b 12、d

13、

17、解：（1） ，

定義域：r，最小正周期為 ；

（2） ，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以

（2）

當(dāng) ，

當(dāng)

19、解： ，因?yàn)?，有 ，

亦即 ，由 ，

解得 ，

當(dāng) ，最大值為0，不合題意，

當(dāng) ，最小值為0，

當(dāng) 時(shí)，_的集合為：

（2） ，又 時(shí)， ，故 的最大值是 ．

21、解：（1） 且最大值為1，所以 由 ；

（2）由（1）知，令 所以 是 的對(duì)稱(chēng)軸．

22、解：以l為_(kāi)軸，d點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)ab的中點(diǎn)為m，則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性有

設(shè)動(dòng)點(diǎn)c的坐標(biāo)為 ，記 ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，

故該邊鋒在距乙方底線(xiàn) 時(shí)起腳射門(mén)可命中角的正切值最大．

高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：集合大小定義的基本要求三

不過(guò)作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對(duì)于任何給定的兩個(gè)集合a和b，或者a比b大，或者b比a大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱(chēng)為“全序關(guān)系”。

最后，新的定義必須保持原來(lái)有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒(méi)有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。

經(jīng)過(guò)精心的整理，有關(guān)“高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：集合大小定義的基本要求三”的內(nèi)容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家，祝大家學(xué)習(xí)愉快!

學(xué)好高中數(shù)學(xué)也需閱讀積累

閱讀，在語(yǔ)文中要抓住精煉的或生動(dòng)形象的詞與句，而在數(shù)學(xué)中，則應(yīng)抓住關(guān)鍵的詞語(yǔ)。比如在初二課本第一學(xué)期第21章第五節(jié)反比例函數(shù)性質(zhì)的第一條：“當(dāng)k>;0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，自變量_逐漸增大時(shí)，y的值則隨著逐漸減小。&rdquo 高中歷史;這句話(huà)中，關(guān)鍵詞語(yǔ)是“在每個(gè)象限內(nèi)”，反比例函數(shù)的圖像為雙曲線(xiàn)，而這個(gè)性質(zhì)是對(duì)于其中某一分支而言，并不是對(duì)整個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)的。所以在做題時(shí)，應(yīng)注意到這一點(diǎn)。從這一實(shí)例來(lái)看，我們不難發(fā)現(xiàn)閱讀時(shí)抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)的重要性。

積累，在語(yǔ)文中有利于寫(xiě)作，在數(shù)學(xué)中有利于解題。積累包括兩方面：一、概念知識(shí)，二、錯(cuò)誤的題目。腦子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解題的突破口，在做較難的題目時(shí)，也就得心應(yīng)手了。積累錯(cuò)誤的題目，指挑選一些自己平時(shí)易錯(cuò)或難懂的題目，記在本子上，在復(fù)習(xí)時(shí)，翻看這本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面還有所欠缺，應(yīng)特別注意。所以積累對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)起著極大的作用。

自主復(fù)習(xí)最好各科交替進(jìn)行

大部分區(qū)縣都將實(shí)行全區(qū)統(tǒng)考，并將考生成績(jī)進(jìn)行大排隊(duì)。這次考試將成為考生填報(bào)高考志愿的重要參考依據(jù)?？忌鷮?duì)此非常重視。元旦假期，不少考生計(jì)劃把時(shí)間都用來(lái)補(bǔ)習(xí)薄弱科目。

北京老師王梅生建議，在重點(diǎn)復(fù)習(xí)薄弱學(xué)科的同時(shí)，考生也要兼顧其他科目。不要在一大段時(shí)間內(nèi)把精力全部用在某一科目上，這樣容易造成頭腦疲勞，影響復(fù)習(xí)效果?？忌詈脤⒏骺平惶孢M(jìn)行，文理科兼顧，強(qiáng)弱科相間，單科與綜合科目結(jié)合進(jìn)行。

此外，考生最好將各科復(fù)習(xí)時(shí)間安排得與考試時(shí)間同步。比如，考試第一天上午考語(yǔ)文，下午考數(shù)學(xué)，第二天上午考綜合，下午考英語(yǔ)?？忌@幾天最好上午復(fù)習(xí)語(yǔ)文與綜合，下午復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)與英語(yǔ)，這樣有利于在相應(yīng)的時(shí)間對(duì)相應(yīng)科目產(chǎn)生興趣，提高興奮點(diǎn)。

提醒注意的是，考生在考前這幾天，不要打亂原有的生物鐘，盡量別開(kāi)夜車(chē)復(fù)習(xí)，并注意把學(xué)習(xí)與休息相結(jié)合，保證8小時(shí)睡眠和適度體育鍛煉。這樣才能精力充沛，保證復(fù)習(xí)效果。

【第15篇 一次函數(shù)高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一次函數(shù)高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、定義與定義式：

自變量_和因變量y有如下關(guān)系：

y=k_+b

則此時(shí)稱(chēng)y是_的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是_的正比例函數(shù)。

即：y=k_(k為常數(shù)，k0)

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的_的變化值成正比例，比值為k

即：y=k_+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))

2.當(dāng)_=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

(1)列表;

(2)描點(diǎn);

(3)連線(xiàn)，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線(xiàn)。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點(diǎn))

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(_，y)，都滿(mǎn)足等式：y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與_軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。

3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨_的增大而增大;

當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨_的增大而減小。

當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限;

當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)

當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。

特別地，當(dāng)b=o時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點(diǎn)a(_1，y1);b(_2，y2)，請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。

(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=k_+b。

(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)p(_，y)，都滿(mǎn)足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=k_1+b①和y2=k_2+b②

(3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的'應(yīng)用：

1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式：(部分)

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(_1-_2)

2.求與_軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|_1-_2|/2

3.求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線(xiàn)段的長(zhǎng)：(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注：根號(hào)下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)

以上就是由數(shù)學(xué)網(wǎng)為您提供的高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：一次函數(shù)，希望給您帶來(lái)幫助!

【第16篇 《函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性》高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

《函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性》高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、 函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性探究

定理1.函數(shù) = f (_)的圖像關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)對(duì)稱(chēng)的充要條件是

f (_) + f (2a－_) = 2b

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)p(_ ,)是 = f (_)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)p( _ ,)關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p'（2a－_，2b－）也在 = f (_)圖像上，∴ 2b－ = f (2a－_)

即 + f (2a－_)=2b故f (_) + f (2a－_) = 2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)p(_0,0)是 = f (_)圖像上任一點(diǎn)，則0 = f (_0)

∵ f (_) + f (2a－_) =2b∴f (_0) + f (2a－_0) =2b，即2b－0 = f (2a－_0) 。

故點(diǎn)p'（2a－_0，2b－0）也在 = f (_) 圖像上，而點(diǎn)p與點(diǎn)p'關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)對(duì)稱(chēng)，充分性得征。

推論：函數(shù) = f (_)的圖像關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱(chēng)的充要條件是f (_) + f (－_) = 0

定理2. 函數(shù) = f (_)的圖像關(guān)于直線(xiàn)_ = a對(duì)稱(chēng)的充要條件是

f (a +_) = f (a－_) 即f (_) = f (2a－_) （證明留給讀者）

推論：函數(shù) = f (_)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是f (_) = f (－_)

定理3. ①若函數(shù) = f (_) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)a (a ,c)和點(diǎn)b (b ,c)成中心對(duì)稱(chēng)（a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個(gè)周期。

②若函數(shù) = f (_) 圖像同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)_ = a 和直線(xiàn)_ = b成軸對(duì)稱(chēng) （a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個(gè)周期。

③若函數(shù) = f (_)圖像既關(guān)于點(diǎn)a (a ,c) 成中心對(duì)稱(chēng)又關(guān)于直線(xiàn)_ =b成軸對(duì)稱(chēng)（a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個(gè)周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù) = f (_)圖像既關(guān)于點(diǎn)a (a ,c) 成中心對(duì)稱(chēng)，

∴f (_) + f (2a－_) =2c，用2b－_代_得：

f (2b－_) + f [2a－(2b－_) ] =2c………………（_）

又∵函數(shù) = f (_)圖像直線(xiàn)_ =b成軸對(duì)稱(chēng)，

∴ f (2b－_) = f (_)代入（_）得：

f (_) = 2c－f [2(a－b) + _]…………（__），用2（a－b）－_代_得

f [2 (a－b)+ _] = 2c－f [4(a－b) + _]代入（__）得：

f (_) = f [4(a－b) + _],故 = f (_)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個(gè)周期。

二、 不同函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的探究

定理4. 函數(shù) = f (_)與 = 2b－f (2a－_)的圖像關(guān)于點(diǎn)a (a ,b)成中心對(duì)稱(chēng)。

定理5. ①函數(shù) = f (_)與 = f (2a－_)的圖像關(guān)于直線(xiàn)_ = a成軸對(duì)稱(chēng)。

②函數(shù) = f (_)與a－_ = f (a－)的圖像關(guān)于直線(xiàn)_ + = a成軸對(duì)稱(chēng)。

③函數(shù) = f (_)與_－a = f ( + a)的圖像關(guān)于直線(xiàn)_－ = a成軸對(duì)稱(chēng)。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點(diǎn)p(_0 ,0)是 = f (_)圖像上任一點(diǎn)，則0 = f (_0)。記點(diǎn)p( _ ,)關(guān)于直線(xiàn)_－ = a的`軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為p'（_1， 1），則_1 = a + 0 , 1 = _0－a ，∴_0 = a + 1 , 0= _1－a 代入0 = f (_0)之中得_1－a = f (a + 1) ∴點(diǎn)p'（_1， 1）在函數(shù)_－a = f ( + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)_－a = f ( + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)_－ = a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù) = f (_)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù) = f (_)的圖像與_ = f 的圖像關(guān)于直線(xiàn)_ = 成軸對(duì)稱(chēng)。

三、 三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性列表

注：①上表中∈z

② = tan _的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)應(yīng)該是(π/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為 = tan _的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是( π, 0 )，這明顯是錯(cuò)的。

四、 函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用舉例

例1：定義在r上的非常數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足：f (10+_)為偶函數(shù)，且f (5－_) = f (5+_),則f (_)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）

(a)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (b)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(c)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (d)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f (10+_)為偶函數(shù)，∴f (10+_) = f (10－_).

∴f (_)有兩條對(duì)稱(chēng)軸 _ = 5與_ =10 ，因此f (_)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， ∴_ =0即軸也是f (_)的對(duì)稱(chēng)軸，因此f (_)還是一個(gè)偶函數(shù)。

故選(a)

例2：設(shè)定義域?yàn)閞的函數(shù) = f (_)、 = g(_)都有反函數(shù)，并且f(_－1)和g-1(_－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn) = _對(duì)稱(chēng)，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（a） 1999； （b）2000； （c）2001； （d）2002。

解：∵ = f(_－1)和 = g-1(_－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn) = _對(duì)稱(chēng)，

∴ = g-1(_－2) 反函數(shù)是 = f(_－1)，而 = g-1(_－2)的反函數(shù)是: = 2 + g(_), ∴f(_－1) = 2 + g(_), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應(yīng)選（c）

例3.設(shè)f(_)是定義在r上的偶函數(shù)，且f(1+_)= f(1－_),當(dāng)－1≤_≤0時(shí)，

f (_) = － _，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(_)是定義在r上的偶函數(shù)∴_ = 0是 = f(_)對(duì)稱(chēng)軸；

又∵f(1+_)= f(1－_) ∴_ = 1也是 = f (_) 對(duì)稱(chēng)軸。故 = f(_)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4.函數(shù) = sin (2_ + )的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是（ ）(92全國(guó)高考理) (a) _ = － (b) _ = － (c) _ = (d) _ =

解：函數(shù) = sin (2_ + )的圖像的所有對(duì)稱(chēng)軸的方程是2_ + = +

∴_ = － ,顯然取 = 1時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸方程是_ = － 故選(a)

例5. 設(shè)f(_)是定義在r上的奇函數(shù)，且f(_+2)= －f(_),當(dāng)0≤_≤1時(shí)，

f (_) = _，則f (7.5 ) = （ ）

(a) 0.5 (b) －0.5 (c) 1.5 (d) －1.5

解：∵ = f (_)是定義在r上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱(chēng)中心；

又∵f (_+2 )= －f (_) = f (－_)，即f (1+ _) = f (1－_)， ∴直線(xiàn)_ = 1是 = f (_) 對(duì)稱(chēng)軸，故 = f (_)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(b)