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集合知識(shí)總結(jié)(五篇)

發(fā)布時(shí)間:2023-01-19 12:27:07 查看人數(shù):81

集合知識(shí)總結(jié)

【第1篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一.知識(shí)歸納:

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。

4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);

2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )

3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}

注意:①? a,若a≠?,則? a ;

②若 , ,則 ;

③若 且 ,則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解:

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。

分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。

點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

變式:設(shè)集合 , ,則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b

例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。

變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為

a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)

變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解:由已知,集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .

例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,

∴ ∴

變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1

分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。

解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。

解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②

綜①②得:所求集合為{-1,0, }

例5已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。

解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時(shí),

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答:

點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類(lèi)討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練

選擇題

1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)

(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)

3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)

4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是

(a)cua cub (b)cua cub=u

(c)a cub= (d)cua b=

5.已知集合a={ }, b={ }則a =

(a)r (b){ }

(c){ } (d){ }

6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為

{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是

(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)

7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=

(a)_ (b)t (c)φ (d)s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為

(a)r (b) (c){ } (d){ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= , b= ,

其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a

(?。゜= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1

(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1

綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1

【第2篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一.知識(shí)歸納:

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。

4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);

2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )

3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}

注意:①? a,若a≠?,則? a ;

②若 , ,則 ;

③若 且 ,則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解:

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。

分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。

點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

變式:設(shè)集合 , ,則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b

【第3篇 2023高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):集合知識(shí)點(diǎn)匯總

一.知識(shí)歸納:

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。

4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);

2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或,且 )

3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}

注意:①? a,若a≠?,則? a ;

②若, ,則 ;

③若且 ,則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解:

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。

分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。

點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

變式:設(shè)集合, ,則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

當(dāng)時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b

例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。

變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為

a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)

變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解:由已知,集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有個(gè) .

例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,

∴ ∴

變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1

分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。

解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。

解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng)時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②

綜①②得:所求集合為{-1,0, }

例5已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。

解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解

令當(dāng) 時(shí),

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答:

點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類(lèi)討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

【第4篇 2023年高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一.知識(shí)歸納:

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。

4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);

2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )

3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}

注意:①? a,若a≠?,則? a ;

②若 , ,則 ;

③若 且 ,則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解:

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。

分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。

點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

變式:設(shè)集合 , ,則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b

例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。

變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為

a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)

變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解:由已知,集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .

例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,

∴ ∴

變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1

分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。

解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。

解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②

綜①②得:所求集合為{-1,0, }

例5已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。

解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時(shí),

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答:

點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類(lèi)討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)

(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)

3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)

4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是

(a)cua cub (b)cua cub=u

(c)a cub= (d)cua b=

5.已知集合a={ }, b={ }則a =

(a)r (b){ }

(c){ } (d){ }

6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為

{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是

(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)

7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=

(a)_ (b)t (c)φ (d)s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為

(a)r (b) (c){ } (d){ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= , b= ,

其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a

(?。゜= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1

(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1

綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1

【第5篇 高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一.知識(shí)歸納:

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素

注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。

③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件

2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類(lèi):有限集,無(wú)限集,空集。

4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);

2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )

3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}

注意:①? a,若a≠?,則? a ;

②若 , ,則 ;

③若 且 ,則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。

二.例題講解:

【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}

對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。

分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。

點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

變式:設(shè)集合 , ,則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b

【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。

解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。

變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為

a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)

變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解:由已知,集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .

【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,

∴ ∴

變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1

分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。

解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。

變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。

解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②

綜①②得:所求集合為{-1,0, }

【例5】已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。

解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時(shí),

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答:

點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類(lèi)討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)

(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)

3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)

4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是

(a)cua cub (b)cua cub=u

(c)a cub= (d)cua b=

5.已知集合a={ }, b={ }則a =

(a)r (b){ }

(c){ } (d){ }

6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為

{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是

(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)

7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=

(a)_ (b)t (c)φ (d)s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為

(a)r (b) (c){ } (d){ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= , b= ,

其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a

(ⅰ)b= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1

(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1

綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1

集合知識(shí)總結(jié)(五篇)

一.知識(shí)歸納:1.集合的有關(guān)概念。1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與…
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